(Altri) Compiti di scienze per casa

1. Un oggetto d'oro (calore specifico=0,13 J/g.°C) ha una massa di 100 g ed il calore che gli viene somministrato è di 350 J,di quanto si innalza la temperatura dell'oggetto?

2. Quanti g di etanolo possono essere vaporizzati alla temperatura di ebbolizione con 18700 J di calore?

3. Quanti J dobbiamo fornire a 70 g di Silice per aumentare la sua temperatura da 25 a 75 g °C,sapendo che Calore specifico=0,83 Jg/°C

Compiti scienze!

1.Quesito: Quanta energia meccanica dobbiamo fornire al mulinello di Joule per aumentare la temperatura di 5 kg di acqua di 10°C?

2.Quesito: La quantità di energia che si ottiene bruciando 1 m^3 di metano è pari a 33 MJ. Quanti metri cubi di metano bisogna bruciare per portare da 20°C a 80°C 100 l d'acqua?

3.Quesito: Una sfera di ferro di 4 kg a temperatura 500°C viene messa in un recipiente contenente 20 kg d'acqua a 25°C. Si calcoli la temperatura d'equilibrio


4.Quesito: Un blocchetto di una sostanza incognita di massa m = 300 g e temperatura 80°C viene posto in 1 kg di acqua alla temperatura di 20°C. La temperatura di equilibrio risulta essere 34°C. Si calcoli il calore specifico della sostanza incognita.

I Sistemi di numerazione

SISTEMI DI NUMERAZIONE

I diversi tipi di sistemi di numerazione.


Introduzione
Non si sa con certezza quale popolo si è servito dei numeri per primo, ma è certo che passò molto tempo tra l’uso verbale dei numeri e la loro scrittura. Molti popoli giunsero quasi contemporaneamente a rappresentare con simboli grafici, in forme diverse, i numeri,e a stabilire delle leggi per poter operare con essi.
 Nacquero così modi diversi per rappresentare i numeri, anche quelli a cui non era associato un simbolo,per eseguire le varie  operazioni necessarie.  Nacquero, cosi,i sistemi di numerazione.
• Un sistema di numerazione è un insieme di simboli, chiamati cifre, dai quali è possibile rappresentare qualsiasi numero.
• I più antichi sistemi di numerazione furono soprattutto sistemi additivi nei quali a ogni simbolo è associato un valore numerico. Si dicono additivi perche il valore del numero rappresentato si ottiene sommando (o sottraendo) i valori numerici dei singoli simboli che costituiscono la scrittura del numero.
Es.  NUMERI ROMANI
I      V     X     L     C     D     M
1      5     10    50   100  500  1000
Furono gli indiani nel sec. d.c.,a inventare il sistema di numerazione decimale,di cui ancora oggi ne facciamo uso,diffuso dagli Arabi per poi esser diffuso in Italia nel 1200 da Leonardo Pisano.

• Sistema posizionale : (o Sistema decimale) in esso il valore numerico associato a ogni cifra varia a seconda della posizioni che essa occupa nel numero.

Esercizi:

•  MLXX=1000+50+10+10= 1070
•  LXV=50+10+5= 65
• CDX=500-100+10 = 410 
• XCIV=100-10+5-1= 94

(quando un simbolo di valore inferiore precede un simbolo di valore superiore si svolge una sottrazione)

SISTEMA DECIMALE

Il nostro sistema di numerazione si serve di dieci simboli, detti cifre, che rappresentano i primi dieci numeri naturali. Tutti gli altri numeri naturali si rappresentano mediante una sequenza di tali simboli.

• Il sistema di numerazione posizionale a base 10, che oggi utilizziamo, fu introdotto per la prima volta nel VI secolo in India. Tale sistema è possibile solo mediante l’adozione di una cifra, il nostro zero, da utilizzare per rappresentare una posizione vuota. Fu così che fu introdotto lo zero, che in precedenza non era considerato un numero. Dalla parola sanscrita sunya, che significa “vuoto”, deriva la parola araba sifr, da cui a sua volta derivano le parole italiane zero e cifra.
• Si chiama ordine di una cifra il posto che essa occupa in tale sequenza, contando, a partire da zero, dall’ultima cifra a destra verso sinistra.

ESEMPIO
1 Nel numero 5028

• 8 è la cifra di ordine 0 e rappresenta 8 unità;
• 2 è la cifra di ordine 1 e rappresenta 2 decine;
• 0 è la cifra di ordine 2 e rappresenta 0 centinaia;
• 5 è la cifra di ordine 3 e rappresenta 5 migliaia. 

5028
5= cifra di ordine 3  migliaia  1 migliaio = 10 centinaia 
0=cifra di ordine 2centinaia  1 centinaio =  10 decine
2= cifra di ordine 1  decine  1 decina = 10 unità
8=cifra di ordine 0  unità





ESEMPIO
2 Nel numero 5028

• La cifra 8, di ordine 0, è associata al valore 8 x 10^0 = 8 x 1= 8;
• La cifra 2, di ordine 1, è associata al valore 2 x 10^1 = 2 x 10= 20;
• La cifra 0, di ordine 2, è associata al valore 0 x 10^2 = 0 x 100= 0;
• La cifra 5, di ordine 3, è associata al valore 5 x 10^3 = 5 x 1000= 5000.

Perciò il numero 5028 si può scrivere in “forma polinomiale” in questo modo:
                                                 5028= 5 x 10^3 + 0 x 10^2 + 2 x 10^1 + 8 x 10^0
Infatti                                        5028= 5000+20+8
Questo sistema di numerazione si chiama decimale perché dieci unità di un ordine formano un’unità dell’ordine immediatamente superiore. Perciò la cifra di ordine zero indica il numero di unità, la cifra di ordine 1 indica il numero di decine, essendo una decina uguale a dieci unità, la cifra di ordine 2 indica le centinaia, essendo un centinaio uguale a 10 decine, e così via. In altre parole, il valore numerico associato a ogni cifra si ottiene moltiplicando tale cifra per una potenza di 10, il cui esponente è dato dall’ordine della cifra stessa.






Esempio
Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri del sistema decimale:

93     275     1204     12.756     1039

93= 9 x 10^1 + 3 x 10^0 = 90+3
275= 2 x 10^2 + 7 x 10^1 + 5 x 10^0 = 200+70+5
1204= 1 x 10^3 + 2 x 10^2 + 0 x 10^1 + 4 x 10^0 = 1000+200+4
12.756= 1 x 10^4 + 2 x 10^3 + 7 x 10^2 + 5 x 10^1 + 6 x 10^0 = 10000+2000+700+50+6
1039= 1 x 10^3 + 0 x 10^2 + 3 x 10^1 + 9 x 10^0 = 1000+30+9

Esempio
Scrivi i numeri del sistema decimale rappresentati dalle seguenti espressioni, senza svolgere calcoli.
a. 2 x 10^4 + 3 x 10^3 + 7 x 10^2 + 5 x 10 + 8= 20000+3000+700+50+8= 23758
b. 7 x 10^5 + 2 x 10^3 + 4 x 10^2 + 1= 700000+2000+400+1= 702401
c. 4 x 10^4 +1 x 10^2 + 5 x 10 + 6= 40000+100+50+6= 40156
d.  9 x 10^6 + 7 x 10^3 + 2 x 10^2 = 9.000.000+7000+200= 9.007.200

SISTEMI  NON  DECIMALI

Il sistema di numerazione decimale è stato universalmente adottato per la sua grande praticità. È ovvio però che il problema della numerazione potrebbe essere risolto anche usando come base un qualsiasi altro numero ≥ 2.
Si potrebbe creare ad esempio un sistema a base 3, nel quale

• Le cifre usate per scrivere tutti i numeri sono 0,1,2;
• Le unità si raggruppano a tre a tre;
• Tre unità di un certo ordine formano un’unità dell’ordine superiore.

Quindi anche in questo sistema ogni numero può essere espresso  in forma polinomiale, che nel caso specifico è 3.
Il numero 1201 scritto nel sistema ternario, equivale, nel sistema decimale a          
  (1·3^3 + 2·3^2 + 0·3^1 + 1·3^0) unità, cioè a (27+18+1) unità = 46 unità.
È chiaro che una base b< 10 offre il vantaggio di usare solo poche cifre, mentre l’adozione di una base b> 10 presenterebbe conseguenze perfettamente opposte a quelle dette sopra.
Nel passato altri sistemi di numerazione erano usati per la crittografia: scrittura nascosta.
Esempi
201base 3                        2· 3^2 = 18;      0 · 3^1 = 0 ;     1 · 3^0 =1                      18+0+1=19
5231base 6               5· 6^3 = 5· 216 =1080;     2· 6^2 =72;    3· 6^1 =18;     1· 6^0 =1     1080+72+18+1 = 1171

Sistemi di numerazione in base b

Consideriamo un sistema di numerazione in base 4: in esso, per la scrittura di qualsiasi numero, useremo solo le cifre 0,  1,  2, 3. In un numero di più cifre, ogni cifra , come in tutti i sistemi posizionali ,avrà un valore numerico che varia con la sua posizione, cioè con il suo ordine. Poiché, in , tale sistema ,le unità sono raggruppate a 4 a 4, alla cifra di ordine n è associato il valore numerico che, scritto nel sistema decimale , è il prodotto della cifra stessa per  .

Esempio

• Consideriamo il numero naturale che, in base 4, è scritto 132.
• Alla cifra 2, di ordine 0, è associato il valore numerico che, scritto nel sistema decimale , è :

                                        2 →  = = 2

• Alla cifra 3, di ordine 1, è associato il valore numerico   :

                                         3 →  = 12

• Alla cifra 1,  di ordine 2, è associato il valore numerico  :

                     

• → = 16                    Il numero 132 in base 4 corrisponde, nel sistema decimale, a 

 +  +  = 16 + 12 + 2 = 30

Adesso  consideriamo  un sistema  di numerazione in una generica base b  : in tale sistema, in un numero con più cifre il valore numerico di ogni cifra, espresso nel sistema decimale, dovrà esse moltiplicato per un’opportuna potenza di b il cui esponente , detto ordine o posizione di quella cifra, è uguale al numero delle cifre che seguono, verso destra, quella considerata. Possiamo quindi generalizzare le osservazioni del precedente esempio, relative al numero che nel sistema in base 4 era scritto 132. Pertanto, se x è un numero naturale espresso in base b e se
                               
Sono le cifre della sua rappresentazione in tale base, allora si ha
   
Cioè, essendo  = 1
                                           
Abbiamo scritto cosi il numero , in base b , nella forma polinomiale


 Esempi
2) Rappresentiamo in forma decimale il numero che in base 8  si scrive 7512.
Esprimiamo nel sistema decimale i valori numerici associati a ogni cifra:

• La cifra 2 è di ordine 0; il valore numerico a essa corrispondente nel sistema decimale è 

 = 

• La cifra 1 è di ordine 1; quindi a essa va associato il valore numerico 1  = 8
• La cifra 5 è di ordine 2; quindi a essa va associato il valore numerico 5  = 320
• Infine la cifra 7 è di ordine 3;  perciò a essa va associato il valore numerico 

            Dunque il numero che in base 8 si scrive 7512 corrisponde al numero che in base 10 è dato da
                                       
            Possiamo schematizzare questo procedimento nel modo seguente :

                     7                                   5                        1                            2  
 
           =    3584                     =  320                    =   8                        =    2              
 





 3584+320+8+2= 3914

• Rappresentiamo nel sistema decimale il numero che in base 5 si scrive 20413

20413 = 2

In base 5                         In base 10

I SISTEMI BINARIO ED ESADECIMALE

I sistemi di numerazione più usati sono due:

• Sistema di numerazione a base 2 o binario:

è un sistema importante usato per la rappresentazione dei  numeri interni ai computer.
Le cifre binarie sono due: 0 e 1.

• Sistema a base 16 o esadecimale:

In questo sistema le dieci cifre che si usano generalmente non sono più sufficienti. Si ricorre,quindi, ad alcune lettere dell’alfabeto.
Le cifre esadecimali  sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
A16=1010 B16=1110 C16=1210   D16=1310   E16=1410  F16=1510

N.B. Il sistema esadecimale può essere usato come abbreviazione del sistema binario.
Il termine Bit è l’abbreviazione di binary digit ed indica una cifra binaria.
Il termine Byte indica un gruppo di otto cifre binarie
Esempi
1102= 0x2^0+1x2^1+1x2^2=2+4=6
101102=0x2^0+1x2+1x2^2+0x2^3+1x2^4=2+4+16=22
CA416=4x16^0+10x16^1+12x16^2=4+160+3072=3236

CAMBIAMENTI DI BASE Dalla base 10 alla base b

Algoritmo delle divisioni successive

Per convertire in base b un numero x, rappresentato in base 10, si procede così:


A si divide x per b; il resto ottenuto costituisce l’ultima cifra a destra del numero x espresso in base b;


B si divide nuovamente per b il quoziente ottenuto; il nuovo resto è la cifra, in base b immediatamente a sinistra di quella ottenuta precedentemente;


C si ripete l’operazione B fino ad ottenere un quoziente nullo.

L’ ultimo resto è la prima cifra a sinistra del numero x scritto nella base b.

Il termine algoritmo deriva dal nome del matematico arabo; egli ci tramandò un importante libro di calcolo numerico e uno sulle equazioni di 1° e 2° grado: è per questo che la parola algoritmo rappresenta un  procedimento di calcolo.


ESEMPI
1 Esprimiamo il numero 2610  nel sistema binario. Applichiamo l’algoritmo delle divisioni successive:
26 : 2 = 13   resto 0
13 : 2 = 6     resto 1
6 : 2 = 3     resto 0
3 : 2 = 1   resto 1
1 : 2 = 0   resto 1
I resti ottenuti costituiscono diverse cifre del numero scritto in base 2: l’ultimo resto sarà la prima cifra a sinistra, il penultimo resto della seconda e così via, nell’ordine indicato nella freccia. Pertanto possiamo concludere che
2610 = 110102


2 Esprimiamo in base 8 il numero 432710.
Possiamo disporre il calcolo nel seguente modo:



4327     :       8
    7        
       =       540   :     8
4  
                    =          67    :      8  
                                                3     
                                                        =      8      :      8
                                               0
                                                                         =      1     :     8
                                                                                 1
                                                                                         =     0  
 
Ricordando che l’ultimo resto è la prima cifra a sinistra del numero richiesto, possiamo scrivere
4327base 10 = 10347base 8

Dalla base b1 alla base b2

E’ quasi sempre consigliabile operare in due tempi. Prima si effettua la conversione dalla base b1 alla base 10, poi si opera la conversione dalla base 10 alla base b2.


ESEMPIO
Esprimiamo in base 7 il numero 431125 =..............7
Determiniamo dapprima la rappresentazione decimale di 431125 :


43112base 5 = 4·5^4+3·5^3+1·5^2+1·5^1+2·5^0 = 2500+375+25+5+2 = 290710

Operiamo quindi la conversione di 290710 in base 7:
2907 : 7=  415    resto       2
415 : 7 = 59        resto       2     
59 : 7 = 8            resto       3
8 : 7 = 1              resto       1      
1 : 7 =  0             resto       1
Dunque                       43112base 5 = 2907base 10  = 11322base 7  → 43112base 5 = 11322base 7

Dal sistema binario al sistema esadecimale

Regola:
Per Convertire un numero in base 16, si raggruppano a quattro le cifre binarie del numero di partenza  partire da destra, se le cifre del gruppo più a sinistra sono 1, due o tre bisogna completare il gruppo anteponendo gli zeri a tali cifre, infine si sostituisce a ogni gruppo di 4 bit il numero esadecimale corrispondente.
ESEMPIO
Rappresentiamo nel sistema esadecimale, il numero  .
                                                  0110 1011 1110  
                               
                                                      6     B       E
Quindi si ha: = 6BEbase 16

Dal sistema esadecimale al sistema binario

Regola:
Per convertire in base 2 un numero x rappresentato in base 16, si sostituisce, a ogni cifra esadecimale di x, il corrispondente gruppo di quattro cifre binarie; si opprimono quindi gli eventuali zeri del primo gruppo a sinistra.
ESEMPIO
Rappresentiamo nel sistema binario, il numero .

                      2       F       A
                             
                   0010 1111 1010
Quindi sopprimendo i due zeri iniziali, si ha:   =

Il calcolo letterale

CALCOLO LETTERALE

In matematica, si dice calcolo letterale quell'insieme di operazioni algebriche che siano espresse sia con termini numerici, sia con termini letterali.

In altre parole, un'espressione viene definita letterale quando alcuni suoi termini sono espressi mediante lettere dell'alfabeto, generalmente di quello latino.

L’uso delle lettere al posto dei numeri si utilizza per scrivere proprietà e regole dandone una valenza più generale rispetto a un restrittivo esempio numerico.

L’uso delle lettere è ad esempio utilizzato in geometria per scrivere formule valide per la generalità delle figure.

Area Rettangolo = b * h

Le lettere rappresentano di volta in volta il caso particolare e il valore di un’espressione letterale dipende, quindi, dal valore assegnato alle sue lettere.

Il calcolo letterale impone, però, di far di conto con le lettere proprio come fossero numeri per ottenere forme compatte di espressioni letterali altrimenti complesse.

ESPRESSIONI LETTERALI

Una ESPRESSIONE LETTERALE O ALGEBRICA è un’espressione in cui alcuni numeri sono espressi mediante lettere. Questa definizione consente la risoluzione generalizzata di un dato problema.
Esempio:


rappresenta la somma del quadrato del numero relativo generico a con il cubo di un altro qualsiasi numero relativo b.

Tale valore cambierà al cambiare dei valori che diamo alle lettere a e b.

Il valore numerico di una espressione algebrica varia con il variare dei valori numerici attribuiti alle lettere.

Esempi di espressioni letterali
Per moltiplicare un numero a per la somma ( b + c + d ) basta moltiplicare quel numero per ciascun addendo della somma e poi sommare i prodotti parziali ottenuti:

a *( b + c + d ) = ab + ac + ad

Per moltiplicare una somma algebrica per una altra somma, basta moltiplicare ciascun termine della prima per ciascuno della seconda e poi addizionare i prodotti ottenuti:

( a + b + c ) *( x + y ) = ax + ay + bx + by + cx + cy

In una stessa espressione letterale, lettere uguali rappresentano numeri reali uguali.

Per calcolare il valore di un’espressione letterale si sostituiscono i valori corrispondenti alle lettere e si calcola il valore dell’espressione numerica così ottenuta (per sostituzione).

Esempio:

•  calcoliamo il valore di 6a – 2b supponendo che a valga +2 e b valga -3

6a – 2b = 6 * ( +2 ) – 2 * ( -3 ) = 12 + 6 = 18

•  calcoliamo il valore di –4a + ( -3b ) – ( -5a ) + ( +7b ) supponendo che a valga -1 e b valga +2

–4 *( -1 ) + [ -3 *( +2 ) ] – [ -5 *( -1 ) ] + [ +7 *( +2 ) ] = 4 – 6 – 5 + 14 = 7


Si dice che un’espressione algebrica perde significato, cioè che non è possibile risolverla, nei seguenti casi:

quando il denominatore è 0, in quanto non ha senso dividere per 0 ;

per valori che rendono negativa un’espressione sotto radice con indice pari.

RICORDA:

un numero diviso per 0 è un’operazione impossibile;

0 diviso per 0 è un’operazione indeterminata;

0 diviso un numero diverso da 0 vale 0 ;

un numero positivo sotto una radice pari vale ± la radice estratta, es. ;

un numero negativo sotto una radice pari è un’operazione impossibile;

MONOMI

• Monomio: espressione letterale scritta come prodotto (moltiplicazione) tra un numero e alcune lettere. Il numero si dice coefficiente del monomio, le lettere costituiscono la parte letterale.

Esempi : -2a^3b^4x^6 ;     3/5 xyt ; a^3b^2c  


Non sono monomi:  3xy+2y (c'è una somma); 3xy/2a (c'è una divisione tra lettere);  (l'esponente negativo mi dice che la y sta al denominatore quindi si tratta di una divisione).

Da specificare che anche un solo numero (intero, frazione) rappresenta un monomio.

• Monomio nullo :  è il monomio di coefficiente 0

• Monomio ridotto in forma normale : è scritto come prodotto di un numero e di una o più lettere tutte diverse tra loro .

Esempio  : -2a3b4x6          è ridotto in forma normale                  
                 10 ab3a3b2c     non è ridotto in forma normale
                 

• Grado di un monomio: è la somma degli esponenti di tutte le lettere  che compaiono nel monomio

Esempio :   4 a3b2c  è un monomio di grado  6 , perché  3+2+1 = 6

• Grado di un monomio rispetto ad una lettera : è l’esponente al quale è elevata la  lettera considerata, purché il monomio sia scritto in forma normale

Esempio :   -7x3y2t   rispetto alla lettera  x ha grado  3 ;
                                 rispetto alla lettera  y ha grado  2 ;
                                 rispetto alla lettera  t ha grado  1 .

• Monomi simili : due o più monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale

Esempio : 2ab ; - 3ab ;    5ba
3x2 y;  -4x2y

• Monomi opposti : sono due monomi simili , ma con coefficienti opposti

Esempio :     - 2ab  e   + 2ab
La somma di 2 monomi opposti è il monomio 0



OPERAZIONI  TRA  MONOMI

• ADDIZIONE  E  SOTTRAZIONE  DI MONOMI

L’addizione e sottrazione tra monomi si può eseguire solo tra monomi simili.
Il risultato è un monomio simile , avente la stessa parte letterale e come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti
Esempio :  -3ac + 5ac – 6a + 2a = ( -3 + 5) ac + (- 6 + 2 ) a = 2ac – 4a

• MOLTIPLICAZIONE DI  MONOMI

Il prodotto tra 2 o più monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti e come parte letterale il prodotto delle lettere
NB  per il prodotto delle lettere uguali applicare  la proprietà delle potenze con ugual base ( addizione degli esponenti delle lettere uguali)
        per il prodotto dei coefficienti ricordare le regole del segno del prodotto di 2 numeri relativi.
Esempio : 2ax^3. ( -3x^2y^4) .( 5/12 a^5 ) = -5/2 a^6x^5y^4

• DIVISIONE  DI  MONOMI

Il quoziente  tra 2  monomi è un monomio avente per coefficiente il quoziente  dei coefficienti e come parte letterale il quoziente delle lettere
NB  per il quoziente delle lettere uguali applicare  la proprietà delle potenze con ugual base ( sottrazione degli esponenti delle lettere uguali)
        per il quoziente dei coefficienti ricordare le regole del segno del quoziente di 2 numeri relativi.

Esempio : 5ax^3: ( -2x^2y^4) = -5/2  a^1-0 x^3-2 y^0-4  =  -5/2  a^1x^1y^-4   =   -5ax/2y^4

NB Se in un monomio qualche lettera compare al denominatore , tale monomio si dice FRATTO.

• POTENZA DI UN   MONOMIO : per elevare a potenza un monomio , basta elevare a quella potenza sia il coefficiente che tutte le lettere della parte letterale.

Esempio : ( - 3a^2b^3xy^5 )^2 =  ( - 3 )^2  (a^2 )^2 ( b^3 )^2 (x )^2 ( y^5 )^2 = 9a^4b^6x^2^10


M.C.D.  e  m.c.m.   TRA   MONOMI

• Il M.C.D. tra 2 o più monomi  è il monomio che ha :
• per coefficiente il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti , se essi sono tutti numeri interi ,altrimenti  il coefficiente è sempre + 1
• per parte letterale solo le lettere comuni con l’esponente minore

• b)  Il m.c.m.  tra 2 o più monomi  è il monomio che ha :
• per coefficiente il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti , se essi sono tutti numeri interi ,altrimenti  il coefficiente è sempre + 1
• per parte letterale tutte le lettere, comuni e non comuni , prese una sola volta , con l’esponente maggiore

POLINOMI

• Polinomio : somma algebrica di 2 o più monomi non simili ( i monomi che compaiono in un polinomio si dicono TERMINI del polinomio )

           Esempio  :  2a + 3b   ;  4axy – 3x + 5 a  ;

• Grado complessivo di un polinomio : è il grado del suo monomio di grado maggiore

    Esempio : il polinomio  ( 3a^4xy^5 – 2x)  ha grado complessivo 10 , perché tra i 2 monomi che formano il polinomio , il 1° monomio ha grado maggiore e vale 10

• Grado di un polinomio rispetto ad una lettera è il massimo esponente con cui compare quella lettera

          Esempio : il polinomio  - 5/7 a^2bc^3 + 4/9 xy^5z^3
                           -  è un polinomio di grado complessivo 9
                           -  è di 1° grado rispetto alle lettere  b  e  x
                           -  è di 2° grado rispetto alla lettera  a  
                           -  è di 3° grado rispetto alle lettere  c  e  z
                           -  è di 5° grado rispetto alle lettere  y

• Polinomio  ordinato in modo crescente rispetto a una lettera : se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine crescente

         Esempio : 8x^5y – 5x^6y^2 + 7 x^8 è ordinato secondo potenze crescenti di x

• Polinomio  ordinato in modo decrescente rispetto a una lettera  : se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine decrescente

          Esempio : 8x^6y^3 – 5x^2y^2 + 7 xy^1  

• Polinomio completo rispetto ad una lettera : se per tale lettera si presentano tutte le potenze dal grado massimo fino al grado 0

          Esempio : 2a^3 + a^2 – 7a + 8

• Polinomio omogeneo : se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado

    Esempio : 2a^3 + a^2b – 7ab^2 + 8 b^3



OPERAZIONI  TRA  POLINOMI

• ADDIZIONE  E  SOTTRAZIONE  TRA POLINOMI

Per addizionare o sottrarre 2 o più polinomi si scrivono uno di seguito all’altro eliminando le parentesi e sommando i termini simili
Per eliminare le parentesi si applicano le regole già note:

• se la parentesi è preceduta da un segno  + , i termini in essa contenuti non cambiano segno
• se la parentesi è preceduta da un segno  -  , i termini in essa contenuti  cambiano segno

• MOLTIPLICAZIONE  DI  UN  MONOMIO  PER UN  POLINOMIO

Basta applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione , moltiplicando ogni termine del polinomio per il monomio (  ricordando la proprietà della moltiplicazione tra potenze di lettere uguali ……)
Esempio :  ( 3a - b + 5ab ) . ( - 3a^2b ) = - 9 a^2b + 3 a^2 b^2 – 15 a^3 b^2

c)   DIVISIONE   DI  UN  POLINOMIO  PER  UN  MONOMIO
Basta applicare la proprietà distributiva della divisione, dividendo ogni termine del polinomio per il monomio (  ricordando la proprietà della divisione tra potenze di lettere uguali ……)
Es1)     (12a^2 – 9ab + 6a ) : ( - 3 a ) =  - 4 a + 3b – 2
Es2)     ( x + 3y – 4 ) : 2x = 1/2  + 3x/2x  - 2/x

• MOLTIPLICAZIONE  TRA  DUE  POLINOMI

Basta moltiplicare ogni termine del primo polinomio , per ogni termine del secondo polinomio
Esempio :  ( 2a - 3b ) . ( -3ab + 5ax + 1 ) =  - 6a^2b + 10 a^2x + 2a  + 9ab^2- 15abx – 3b


DIVISIONE   TRA  DUE   POLINOMI

Dati due polinomi A  e  B  , il loro quoziente Q , è quel polinomio per cui si ha
  A : B = Q     se    Q . B = A                Q è il quoziente esatto della divisione tra 2 polinomi

Se  Q  non è il quoziente esatto della divisione tra i polinomi A e B , allora :
Q .   B    +     R     =      A     dividendo
      divisore resto    

Esempio    ( 2 a^3 – 1 + 3a – 5a^2 + a^4 ) : ( 3 – 2a+ a^2 )
Per calcolare  il quoziente Q si deve :

• ordinare in modo decrescente i polinomi A e B
• dividere il 1° termine di A per il 1° termine di B  si ottiene il 1° termine del quoziente
• moltiplicare il quoziente ottenuto per ogni termine del divisore B , scrivendo il risultato del prodotto , cambiato di segno , sotto il dividendo e si esegue la somma
• dividere il 1° termine del 1° resto parziale ( + 4a^3 ) per il 1° termine del divisore ( a^2 ) e si ottiene il 2° termine del quoziente
• procedere come nel punto c)

NB: la divisione  finisce quando il grado del resto parziale è  minore del grado del polinomio divisore.

VERIFICA  del risultato  ottenuto :   se  Q . B + R  =  A    allora il risultato è esatto.





DIVISIONE  TRA  POLINOMI  CON  REGOLA  DI  RUFFINI
Serve per risolvere più rapidamente la divisione tra polinomi , quando il polinomio divisore è un BINOMIO  DI 1° GRADO del tipo  ( x + k )  o  ( x – k )   , con   k  R

Esempio      ( 2 x^4 – 3x^3 + 5x^2 – x + 1 ) : ( x – 4 )

• si predispone uno schema come questo , in cui si sistemano solo i coefficienti del dividendo , separati dal termine noto  del dividendo

   2   -3    5    -1     1
       +4           8
        .        2    5

• in basso a sinistra si scrive il termine noto del divisore, cambiato di segno , quindi + 4
• si abbassa il 1° coefficiente del dividendo , lo si moltiplica per il numero scritto in basso a sinistra e si scrive il loro prodotto sotto il 2° coefficiente del dividendo
• si esegue la somma tra i due termini che occupano il 2° posto , si ottiene  5  che si scrive in colonna
• si moltiplica l’ultimo  risultato 5 per il numero in basso a sinistra ( + 4) , si scrive il prodotto sotto il 3° coefficiente de dividendo e si esegue la somma   , ottenendo  25
• si prosegue sempre così , fino ad arrivare all’ultima somma del termine noto.

Dallo schema finale si ricavano i coefficienti del Quoziente e il resto della divisione.
Il grado del quoziente è ( 4 – 1 ) = 3 , pertanto il quoziente è : Q =  2x^3 + 5x^2 +25x +99    R = 397


PRODOTTI  NOTEVOLI
Nel calcolo algebrico si presentano particolari moltiplicazioni tra due polinomi i cui risultati si possono ottenere rapidamente applicando determinate regole .
Questi prodotti  vengono detti PRODOTTI  NOTEVOLI.

SCHEMA   RIEPILOGATIVO    PRODOTTI  NOTEVOLI

Tipo di prodotto                                                                      Risultato
Prodotto della somma di 2 monomi per la loro differenza     (A + B)(A – B) (A^2 – B^2)
Quadrato di un binomio (A+B)^2          (A^2 +2AB+B^2)
                                                                                          (A - B)^2 (A^2 -2AB+B^2)
Cubo di un binomio (A+B)^3          (A^3 +3A^2B+3AB^2+B^3)
  (A - B)^3 (A^3 -3A^2B+3AB^2-B^3)
Quadrato  di un trinomio (A+B+C)^2    (A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC)





SCHEDA  DI  RIEPILOGO  SULLA  SCOMPOSIZIONE  DI  POLINOMI

Suggerimenti utili per la scomposizione dei polinomi .

• Controllare sempre se è possibile applicare il raccoglimento a fattor comune !!!!!

ab + ac + a = a .( b + c  + 1)

Sulla base  del numero dei termini che figurano nel polinomio da scomporre , dopo che è stato fatto l’eventuale raccoglimento a fattor comune , si possono seguire le indicazioni riportate nella seguente tabella :


il polinomio da scomporre ha :        può essere ricondotto a :

2 termini  (binomio)                       a  Differenza di 2 quadrati      a^2 – b^2 = (a – b) . (a + b)
                                                     b  Differenza di 2 cubi           a^3 – b^3 = (a – b) . (a^2 + ab + b^2 )
                                         c  Somma di 2 cubi             a^3 + b^3 = (a + b) . (a^2 – ab + b^2)

3 termini  (trinomio )                  d  Quadrato di un binomio     a^2 +-  2ab + b^2 = ( a +-  b) ^2
                              e   Trinomio di 2° grado del tipo:
                                                  x^2 + sx + p  (falso quadrato) x^2 + sx + p = (x + nbase 1 ).(x + nbase 2)
                                                                        Ove s = nbase 1 +  nbase 2  ; p = nbase 1. nbase 2



4 termini                                f    Cubo di un  binomio     a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3= (a + b)^3
                                                                                               a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3= (a - b)^3
                                         g    Differenza tra 2 quadrati
                            ( 3 termini sono il quadrato di un binomio )  a^2 +- 2ab + b^2 – c^2 = (a +- b)^2 – c^2  
                    h  Raccoglimento Parziale a 2 a 2   ax+ay+bx+by = a(x+y) + b(x+y) =  (x + y).(a + b)


6 termini                               i   Quadrato di un trinomio a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc=(a+b + c )^2  
 

                                            m     Raccoglimento Parziale a 3 a 3 ax + ay + ab + 2x + 2y + 2b =a(x + y+ b) + 2(x + y + b) =( x + y + b) . (a + 2)


SCOMPOSIZIONE  MEDIANTE  LA  REGOLA  DI  RUFFINI
Quando nessuna delle regole viste per la scomposizione di un polinomio si può applicare , si può ricorrere alla regola di Ruffini , procedendo come spiegato nel seguente esempio.
Supponiamo di dover scomporre il polinomio   2a^3 + a^2 – 25a + 12

• Si cercano i divisori del termine noto   (+ 12 ) , essi sono  :+-  1  ; +-  2  ; +-  3   ; +- 4  ; +- 6 ;+- 12
• Per tentativi si determina quel divisore che sostituito ad  a,nel polinomio  lo rende uguale a 0;
• Si prova a sostituire -1   P(-1) = 2.(-1)^3 + (-1)^2  - 25.(-1) + 12 = 36 0
• Si prova a sostituire  1   P(1) = 2.(1)^3 + (1)^2  - 25.1 + 12 = -10 0
• Si prova a sostituire -2  P(-2) = 2.(-2)^3 + (-2)^2  - 25.(-2) + 12 = 50 0
• Si prova a sostituire  2   P(2) = 2.(2 )^3 + (2)^2  - 25.(2) + 12 = -18 0
• Si prova a sostituire +3   P(3) = 2.(3)^3 + (3)^2  - 25. (3) + 12 = 54 + 9 – 75 +12 = 0

Il numero cercato è  +3 ;  allora il polinomio  2a^3 + a^2 – 25a + 12 è divisibile per   a – ( +3) = a – 3.
A questo punto si esegue la divisione  tra il polinomio  dato ed il binomio ( a – 3 ) , con il metodo di Ruffini .
E il polinomio  risulta così scomposto :   ( 2a^3 + a^2 – 25a + 12 ) = ( a – 3 ) (2a^2 + 7 a – 4 )
Anche  il polinomio (2a^2 + 7 a – 4 ) si può ulteriormente scomporre applicando ancora la regola di Ruffini , perché si trova il numero – 4 , che sostituito alla a nel polinomio  (2a^2 + 7 a – 4 ) , lo rende uguale a zero.
  P(- 4) = 32 – 28 – 4 = 0
(2a^2 + 7 a – 4 ) è divisibile per ( a + 4 )  , e dalla divisione con il metodo di Ruffini , risulta :
(2a^2 + 7 a – 4 ) = ( a + 4 ) ( 2 a - 1 )

Alla fine avremo : ( 2a^3 + a^2 – 25a + 12 ) = ( a – 3) ( a + 4 ) ( 2 a - 1 )





Seguendo le indicazioni date , scomponi i seguenti polinomi :


1. 5m^4x – 5x =

Raccoglimento totale
  Differenza di 2 quadrati

2. 4a^2 – 24ax + 36x^2
          Raccoglimento totale  
  Quadrato di binomio

3. m^2 +4n^2+ 4mn - 4m -8n +4
Quadrato di trinomio

4. 2/3 y^3 + 16/3  z^3
Raccoglimento totale
  Somma di 2 cubi

5. x^6y^6 – 1

Differenza di 2 quadrati
  Somma  di 2 cubi e differenza  di 2 cubi

6. x^6y^6 – 1

Differenza di 2 cubi
  Differenza di 2 quadrati

7. x^7- x^5 – x^3 + x

Raccoglimento parziale a 2 a 2
  Differenza di 2 quadrati

8. x^2 – 5ax – 14 a^2
Falso quadrato

9. x^6 – 9x^3 + 20
Somma e prodotto

10. 3x^2 – 15 x + 12

Raccoglimento totale
  Falso quadrato