Il calcolo letterale

CALCOLO LETTERALE

In matematica, si dice calcolo letterale quell'insieme di operazioni algebriche che siano espresse sia con termini numerici, sia con termini letterali.

In altre parole, un'espressione viene definita letterale quando alcuni suoi termini sono espressi mediante lettere dell'alfabeto, generalmente di quello latino.

L’uso delle lettere al posto dei numeri si utilizza per scrivere proprietà e regole dandone una valenza più generale rispetto a un restrittivo esempio numerico.

L’uso delle lettere è ad esempio utilizzato in geometria per scrivere formule valide per la generalità delle figure.

Area Rettangolo = b * h

Le lettere rappresentano di volta in volta il caso particolare e il valore di un’espressione letterale dipende, quindi, dal valore assegnato alle sue lettere.

Il calcolo letterale impone, però, di far di conto con le lettere proprio come fossero numeri per ottenere forme compatte di espressioni letterali altrimenti complesse.

ESPRESSIONI LETTERALI

Una ESPRESSIONE LETTERALE O ALGEBRICA è un’espressione in cui alcuni numeri sono espressi mediante lettere. Questa definizione consente la risoluzione generalizzata di un dato problema.
Esempio:


rappresenta la somma del quadrato del numero relativo generico a con il cubo di un altro qualsiasi numero relativo b.

Tale valore cambierà al cambiare dei valori che diamo alle lettere a e b.

Il valore numerico di una espressione algebrica varia con il variare dei valori numerici attribuiti alle lettere.

Esempi di espressioni letterali
Per moltiplicare un numero a per la somma ( b + c + d ) basta moltiplicare quel numero per ciascun addendo della somma e poi sommare i prodotti parziali ottenuti:

a *( b + c + d ) = ab + ac + ad

Per moltiplicare una somma algebrica per una altra somma, basta moltiplicare ciascun termine della prima per ciascuno della seconda e poi addizionare i prodotti ottenuti:

( a + b + c ) *( x + y ) = ax + ay + bx + by + cx + cy

In una stessa espressione letterale, lettere uguali rappresentano numeri reali uguali.

Per calcolare il valore di un’espressione letterale si sostituiscono i valori corrispondenti alle lettere e si calcola il valore dell’espressione numerica così ottenuta (per sostituzione).

Esempio:

•  calcoliamo il valore di 6a – 2b supponendo che a valga +2 e b valga -3

6a – 2b = 6 * ( +2 ) – 2 * ( -3 ) = 12 + 6 = 18

•  calcoliamo il valore di –4a + ( -3b ) – ( -5a ) + ( +7b ) supponendo che a valga -1 e b valga +2

–4 *( -1 ) + [ -3 *( +2 ) ] – [ -5 *( -1 ) ] + [ +7 *( +2 ) ] = 4 – 6 – 5 + 14 = 7


Si dice che un’espressione algebrica perde significato, cioè che non è possibile risolverla, nei seguenti casi:

quando il denominatore è 0, in quanto non ha senso dividere per 0 ;

per valori che rendono negativa un’espressione sotto radice con indice pari.

RICORDA:

un numero diviso per 0 è un’operazione impossibile;

0 diviso per 0 è un’operazione indeterminata;

0 diviso un numero diverso da 0 vale 0 ;

un numero positivo sotto una radice pari vale ± la radice estratta, es. ;

un numero negativo sotto una radice pari è un’operazione impossibile;

MONOMI

• Monomio: espressione letterale scritta come prodotto (moltiplicazione) tra un numero e alcune lettere. Il numero si dice coefficiente del monomio, le lettere costituiscono la parte letterale.

Esempi : -2a^3b^4x^6 ;     3/5 xyt ; a^3b^2c  


Non sono monomi:  3xy+2y (c'è una somma); 3xy/2a (c'è una divisione tra lettere);  (l'esponente negativo mi dice che la y sta al denominatore quindi si tratta di una divisione).

Da specificare che anche un solo numero (intero, frazione) rappresenta un monomio.

• Monomio nullo :  è il monomio di coefficiente 0

• Monomio ridotto in forma normale : è scritto come prodotto di un numero e di una o più lettere tutte diverse tra loro .

Esempio  : -2a3b4x6          è ridotto in forma normale                  
                 10 ab3a3b2c     non è ridotto in forma normale
                 

• Grado di un monomio: è la somma degli esponenti di tutte le lettere  che compaiono nel monomio

Esempio :   4 a3b2c  è un monomio di grado  6 , perché  3+2+1 = 6

• Grado di un monomio rispetto ad una lettera : è l’esponente al quale è elevata la  lettera considerata, purché il monomio sia scritto in forma normale

Esempio :   -7x3y2t   rispetto alla lettera  x ha grado  3 ;
                                 rispetto alla lettera  y ha grado  2 ;
                                 rispetto alla lettera  t ha grado  1 .

• Monomi simili : due o più monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale

Esempio : 2ab ; - 3ab ;    5ba
3x2 y;  -4x2y

• Monomi opposti : sono due monomi simili , ma con coefficienti opposti

Esempio :     - 2ab  e   + 2ab
La somma di 2 monomi opposti è il monomio 0



OPERAZIONI  TRA  MONOMI

• ADDIZIONE  E  SOTTRAZIONE  DI MONOMI

L’addizione e sottrazione tra monomi si può eseguire solo tra monomi simili.
Il risultato è un monomio simile , avente la stessa parte letterale e come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti
Esempio :  -3ac + 5ac – 6a + 2a = ( -3 + 5) ac + (- 6 + 2 ) a = 2ac – 4a

• MOLTIPLICAZIONE DI  MONOMI

Il prodotto tra 2 o più monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti e come parte letterale il prodotto delle lettere
NB  per il prodotto delle lettere uguali applicare  la proprietà delle potenze con ugual base ( addizione degli esponenti delle lettere uguali)
        per il prodotto dei coefficienti ricordare le regole del segno del prodotto di 2 numeri relativi.
Esempio : 2ax^3. ( -3x^2y^4) .( 5/12 a^5 ) = -5/2 a^6x^5y^4

• DIVISIONE  DI  MONOMI

Il quoziente  tra 2  monomi è un monomio avente per coefficiente il quoziente  dei coefficienti e come parte letterale il quoziente delle lettere
NB  per il quoziente delle lettere uguali applicare  la proprietà delle potenze con ugual base ( sottrazione degli esponenti delle lettere uguali)
        per il quoziente dei coefficienti ricordare le regole del segno del quoziente di 2 numeri relativi.

Esempio : 5ax^3: ( -2x^2y^4) = -5/2  a^1-0 x^3-2 y^0-4  =  -5/2  a^1x^1y^-4   =   -5ax/2y^4

NB Se in un monomio qualche lettera compare al denominatore , tale monomio si dice FRATTO.

• POTENZA DI UN   MONOMIO : per elevare a potenza un monomio , basta elevare a quella potenza sia il coefficiente che tutte le lettere della parte letterale.

Esempio : ( - 3a^2b^3xy^5 )^2 =  ( - 3 )^2  (a^2 )^2 ( b^3 )^2 (x )^2 ( y^5 )^2 = 9a^4b^6x^2^10


M.C.D.  e  m.c.m.   TRA   MONOMI

• Il M.C.D. tra 2 o più monomi  è il monomio che ha :
• per coefficiente il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti , se essi sono tutti numeri interi ,altrimenti  il coefficiente è sempre + 1
• per parte letterale solo le lettere comuni con l’esponente minore

• b)  Il m.c.m.  tra 2 o più monomi  è il monomio che ha :
• per coefficiente il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti , se essi sono tutti numeri interi ,altrimenti  il coefficiente è sempre + 1
• per parte letterale tutte le lettere, comuni e non comuni , prese una sola volta , con l’esponente maggiore

POLINOMI

• Polinomio : somma algebrica di 2 o più monomi non simili ( i monomi che compaiono in un polinomio si dicono TERMINI del polinomio )

           Esempio  :  2a + 3b   ;  4axy – 3x + 5 a  ;

• Grado complessivo di un polinomio : è il grado del suo monomio di grado maggiore

    Esempio : il polinomio  ( 3a^4xy^5 – 2x)  ha grado complessivo 10 , perché tra i 2 monomi che formano il polinomio , il 1° monomio ha grado maggiore e vale 10

• Grado di un polinomio rispetto ad una lettera è il massimo esponente con cui compare quella lettera

          Esempio : il polinomio  - 5/7 a^2bc^3 + 4/9 xy^5z^3
                           -  è un polinomio di grado complessivo 9
                           -  è di 1° grado rispetto alle lettere  b  e  x
                           -  è di 2° grado rispetto alla lettera  a  
                           -  è di 3° grado rispetto alle lettere  c  e  z
                           -  è di 5° grado rispetto alle lettere  y

• Polinomio  ordinato in modo crescente rispetto a una lettera : se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine crescente

         Esempio : 8x^5y – 5x^6y^2 + 7 x^8 è ordinato secondo potenze crescenti di x

• Polinomio  ordinato in modo decrescente rispetto a una lettera  : se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine decrescente

          Esempio : 8x^6y^3 – 5x^2y^2 + 7 xy^1  

• Polinomio completo rispetto ad una lettera : se per tale lettera si presentano tutte le potenze dal grado massimo fino al grado 0

          Esempio : 2a^3 + a^2 – 7a + 8

• Polinomio omogeneo : se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado

    Esempio : 2a^3 + a^2b – 7ab^2 + 8 b^3



OPERAZIONI  TRA  POLINOMI

• ADDIZIONE  E  SOTTRAZIONE  TRA POLINOMI

Per addizionare o sottrarre 2 o più polinomi si scrivono uno di seguito all’altro eliminando le parentesi e sommando i termini simili
Per eliminare le parentesi si applicano le regole già note:

• se la parentesi è preceduta da un segno  + , i termini in essa contenuti non cambiano segno
• se la parentesi è preceduta da un segno  -  , i termini in essa contenuti  cambiano segno

• MOLTIPLICAZIONE  DI  UN  MONOMIO  PER UN  POLINOMIO

Basta applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione , moltiplicando ogni termine del polinomio per il monomio (  ricordando la proprietà della moltiplicazione tra potenze di lettere uguali ……)
Esempio :  ( 3a - b + 5ab ) . ( - 3a^2b ) = - 9 a^2b + 3 a^2 b^2 – 15 a^3 b^2

c)   DIVISIONE   DI  UN  POLINOMIO  PER  UN  MONOMIO
Basta applicare la proprietà distributiva della divisione, dividendo ogni termine del polinomio per il monomio (  ricordando la proprietà della divisione tra potenze di lettere uguali ……)
Es1)     (12a^2 – 9ab + 6a ) : ( - 3 a ) =  - 4 a + 3b – 2
Es2)     ( x + 3y – 4 ) : 2x = 1/2  + 3x/2x  - 2/x

• MOLTIPLICAZIONE  TRA  DUE  POLINOMI

Basta moltiplicare ogni termine del primo polinomio , per ogni termine del secondo polinomio
Esempio :  ( 2a - 3b ) . ( -3ab + 5ax + 1 ) =  - 6a^2b + 10 a^2x + 2a  + 9ab^2- 15abx – 3b


DIVISIONE   TRA  DUE   POLINOMI

Dati due polinomi A  e  B  , il loro quoziente Q , è quel polinomio per cui si ha
  A : B = Q     se    Q . B = A                Q è il quoziente esatto della divisione tra 2 polinomi

Se  Q  non è il quoziente esatto della divisione tra i polinomi A e B , allora :
Q .   B    +     R     =      A     dividendo
      divisore resto    

Esempio    ( 2 a^3 – 1 + 3a – 5a^2 + a^4 ) : ( 3 – 2a+ a^2 )
Per calcolare  il quoziente Q si deve :

• ordinare in modo decrescente i polinomi A e B
• dividere il 1° termine di A per il 1° termine di B  si ottiene il 1° termine del quoziente
• moltiplicare il quoziente ottenuto per ogni termine del divisore B , scrivendo il risultato del prodotto , cambiato di segno , sotto il dividendo e si esegue la somma
• dividere il 1° termine del 1° resto parziale ( + 4a^3 ) per il 1° termine del divisore ( a^2 ) e si ottiene il 2° termine del quoziente
• procedere come nel punto c)

NB: la divisione  finisce quando il grado del resto parziale è  minore del grado del polinomio divisore.

VERIFICA  del risultato  ottenuto :   se  Q . B + R  =  A    allora il risultato è esatto.





DIVISIONE  TRA  POLINOMI  CON  REGOLA  DI  RUFFINI
Serve per risolvere più rapidamente la divisione tra polinomi , quando il polinomio divisore è un BINOMIO  DI 1° GRADO del tipo  ( x + k )  o  ( x – k )   , con   k  R

Esempio      ( 2 x^4 – 3x^3 + 5x^2 – x + 1 ) : ( x – 4 )

• si predispone uno schema come questo , in cui si sistemano solo i coefficienti del dividendo , separati dal termine noto  del dividendo

   2   -3    5    -1     1
       +4           8
        .        2    5

• in basso a sinistra si scrive il termine noto del divisore, cambiato di segno , quindi + 4
• si abbassa il 1° coefficiente del dividendo , lo si moltiplica per il numero scritto in basso a sinistra e si scrive il loro prodotto sotto il 2° coefficiente del dividendo
• si esegue la somma tra i due termini che occupano il 2° posto , si ottiene  5  che si scrive in colonna
• si moltiplica l’ultimo  risultato 5 per il numero in basso a sinistra ( + 4) , si scrive il prodotto sotto il 3° coefficiente de dividendo e si esegue la somma   , ottenendo  25
• si prosegue sempre così , fino ad arrivare all’ultima somma del termine noto.

Dallo schema finale si ricavano i coefficienti del Quoziente e il resto della divisione.
Il grado del quoziente è ( 4 – 1 ) = 3 , pertanto il quoziente è : Q =  2x^3 + 5x^2 +25x +99    R = 397


PRODOTTI  NOTEVOLI
Nel calcolo algebrico si presentano particolari moltiplicazioni tra due polinomi i cui risultati si possono ottenere rapidamente applicando determinate regole .
Questi prodotti  vengono detti PRODOTTI  NOTEVOLI.

SCHEMA   RIEPILOGATIVO    PRODOTTI  NOTEVOLI

Tipo di prodotto                                                                      Risultato
Prodotto della somma di 2 monomi per la loro differenza     (A + B)(A – B) (A^2 – B^2)
Quadrato di un binomio (A+B)^2          (A^2 +2AB+B^2)
                                                                                          (A - B)^2 (A^2 -2AB+B^2)
Cubo di un binomio (A+B)^3          (A^3 +3A^2B+3AB^2+B^3)
  (A - B)^3 (A^3 -3A^2B+3AB^2-B^3)
Quadrato  di un trinomio (A+B+C)^2    (A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC)





SCHEDA  DI  RIEPILOGO  SULLA  SCOMPOSIZIONE  DI  POLINOMI

Suggerimenti utili per la scomposizione dei polinomi .

• Controllare sempre se è possibile applicare il raccoglimento a fattor comune !!!!!

ab + ac + a = a .( b + c  + 1)

Sulla base  del numero dei termini che figurano nel polinomio da scomporre , dopo che è stato fatto l’eventuale raccoglimento a fattor comune , si possono seguire le indicazioni riportate nella seguente tabella :


il polinomio da scomporre ha :        può essere ricondotto a :

2 termini  (binomio)                       a  Differenza di 2 quadrati      a^2 – b^2 = (a – b) . (a + b)
                                                     b  Differenza di 2 cubi           a^3 – b^3 = (a – b) . (a^2 + ab + b^2 )
                                         c  Somma di 2 cubi             a^3 + b^3 = (a + b) . (a^2 – ab + b^2)

3 termini  (trinomio )                  d  Quadrato di un binomio     a^2 +-  2ab + b^2 = ( a +-  b) ^2
                              e   Trinomio di 2° grado del tipo:
                                                  x^2 + sx + p  (falso quadrato) x^2 + sx + p = (x + nbase 1 ).(x + nbase 2)
                                                                        Ove s = nbase 1 +  nbase 2  ; p = nbase 1. nbase 2



4 termini                                f    Cubo di un  binomio     a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3= (a + b)^3
                                                                                               a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3= (a - b)^3
                                         g    Differenza tra 2 quadrati
                            ( 3 termini sono il quadrato di un binomio )  a^2 +- 2ab + b^2 – c^2 = (a +- b)^2 – c^2  
                    h  Raccoglimento Parziale a 2 a 2   ax+ay+bx+by = a(x+y) + b(x+y) =  (x + y).(a + b)


6 termini                               i   Quadrato di un trinomio a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc=(a+b + c )^2  
 

                                            m     Raccoglimento Parziale a 3 a 3 ax + ay + ab + 2x + 2y + 2b =a(x + y+ b) + 2(x + y + b) =( x + y + b) . (a + 2)


SCOMPOSIZIONE  MEDIANTE  LA  REGOLA  DI  RUFFINI
Quando nessuna delle regole viste per la scomposizione di un polinomio si può applicare , si può ricorrere alla regola di Ruffini , procedendo come spiegato nel seguente esempio.
Supponiamo di dover scomporre il polinomio   2a^3 + a^2 – 25a + 12

• Si cercano i divisori del termine noto   (+ 12 ) , essi sono  :+-  1  ; +-  2  ; +-  3   ; +- 4  ; +- 6 ;+- 12
• Per tentativi si determina quel divisore che sostituito ad  a,nel polinomio  lo rende uguale a 0;
• Si prova a sostituire -1   P(-1) = 2.(-1)^3 + (-1)^2  - 25.(-1) + 12 = 36 0
• Si prova a sostituire  1   P(1) = 2.(1)^3 + (1)^2  - 25.1 + 12 = -10 0
• Si prova a sostituire -2  P(-2) = 2.(-2)^3 + (-2)^2  - 25.(-2) + 12 = 50 0
• Si prova a sostituire  2   P(2) = 2.(2 )^3 + (2)^2  - 25.(2) + 12 = -18 0
• Si prova a sostituire +3   P(3) = 2.(3)^3 + (3)^2  - 25. (3) + 12 = 54 + 9 – 75 +12 = 0

Il numero cercato è  +3 ;  allora il polinomio  2a^3 + a^2 – 25a + 12 è divisibile per   a – ( +3) = a – 3.
A questo punto si esegue la divisione  tra il polinomio  dato ed il binomio ( a – 3 ) , con il metodo di Ruffini .
E il polinomio  risulta così scomposto :   ( 2a^3 + a^2 – 25a + 12 ) = ( a – 3 ) (2a^2 + 7 a – 4 )
Anche  il polinomio (2a^2 + 7 a – 4 ) si può ulteriormente scomporre applicando ancora la regola di Ruffini , perché si trova il numero – 4 , che sostituito alla a nel polinomio  (2a^2 + 7 a – 4 ) , lo rende uguale a zero.
  P(- 4) = 32 – 28 – 4 = 0
(2a^2 + 7 a – 4 ) è divisibile per ( a + 4 )  , e dalla divisione con il metodo di Ruffini , risulta :
(2a^2 + 7 a – 4 ) = ( a + 4 ) ( 2 a - 1 )

Alla fine avremo : ( 2a^3 + a^2 – 25a + 12 ) = ( a – 3) ( a + 4 ) ( 2 a - 1 )





Seguendo le indicazioni date , scomponi i seguenti polinomi :


1. 5m^4x – 5x =

Raccoglimento totale
  Differenza di 2 quadrati

2. 4a^2 – 24ax + 36x^2
          Raccoglimento totale  
  Quadrato di binomio

3. m^2 +4n^2+ 4mn - 4m -8n +4
Quadrato di trinomio

4. 2/3 y^3 + 16/3  z^3
Raccoglimento totale
  Somma di 2 cubi

5. x^6y^6 – 1

Differenza di 2 quadrati
  Somma  di 2 cubi e differenza  di 2 cubi

6. x^6y^6 – 1

Differenza di 2 cubi
  Differenza di 2 quadrati

7. x^7- x^5 – x^3 + x

Raccoglimento parziale a 2 a 2
  Differenza di 2 quadrati

8. x^2 – 5ax – 14 a^2
Falso quadrato

9. x^6 – 9x^3 + 20
Somma e prodotto

10. 3x^2 – 15 x + 12

Raccoglimento totale
  Falso quadrato