I Sistemi di numerazione

SISTEMI DI NUMERAZIONE

I diversi tipi di sistemi di numerazione.


Introduzione
Non si sa con certezza quale popolo si è servito dei numeri per primo, ma è certo che passò molto tempo tra l’uso verbale dei numeri e la loro scrittura. Molti popoli giunsero quasi contemporaneamente a rappresentare con simboli grafici, in forme diverse, i numeri,e a stabilire delle leggi per poter operare con essi.
 Nacquero così modi diversi per rappresentare i numeri, anche quelli a cui non era associato un simbolo,per eseguire le varie  operazioni necessarie.  Nacquero, cosi,i sistemi di numerazione.
• Un sistema di numerazione è un insieme di simboli, chiamati cifre, dai quali è possibile rappresentare qualsiasi numero.
• I più antichi sistemi di numerazione furono soprattutto sistemi additivi nei quali a ogni simbolo è associato un valore numerico. Si dicono additivi perche il valore del numero rappresentato si ottiene sommando (o sottraendo) i valori numerici dei singoli simboli che costituiscono la scrittura del numero.
Es.  NUMERI ROMANI
I      V     X     L     C     D     M
1      5     10    50   100  500  1000
Furono gli indiani nel sec. d.c.,a inventare il sistema di numerazione decimale,di cui ancora oggi ne facciamo uso,diffuso dagli Arabi per poi esser diffuso in Italia nel 1200 da Leonardo Pisano.

• Sistema posizionale : (o Sistema decimale) in esso il valore numerico associato a ogni cifra varia a seconda della posizioni che essa occupa nel numero.

Esercizi:

•  MLXX=1000+50+10+10= 1070
•  LXV=50+10+5= 65
• CDX=500-100+10 = 410 
• XCIV=100-10+5-1= 94

(quando un simbolo di valore inferiore precede un simbolo di valore superiore si svolge una sottrazione)

SISTEMA DECIMALE

Il nostro sistema di numerazione si serve di dieci simboli, detti cifre, che rappresentano i primi dieci numeri naturali. Tutti gli altri numeri naturali si rappresentano mediante una sequenza di tali simboli.

• Il sistema di numerazione posizionale a base 10, che oggi utilizziamo, fu introdotto per la prima volta nel VI secolo in India. Tale sistema è possibile solo mediante l’adozione di una cifra, il nostro zero, da utilizzare per rappresentare una posizione vuota. Fu così che fu introdotto lo zero, che in precedenza non era considerato un numero. Dalla parola sanscrita sunya, che significa “vuoto”, deriva la parola araba sifr, da cui a sua volta derivano le parole italiane zero e cifra.
• Si chiama ordine di una cifra il posto che essa occupa in tale sequenza, contando, a partire da zero, dall’ultima cifra a destra verso sinistra.

ESEMPIO
1 Nel numero 5028

• 8 è la cifra di ordine 0 e rappresenta 8 unità;
• 2 è la cifra di ordine 1 e rappresenta 2 decine;
• 0 è la cifra di ordine 2 e rappresenta 0 centinaia;
• 5 è la cifra di ordine 3 e rappresenta 5 migliaia. 

5028
5= cifra di ordine 3  migliaia  1 migliaio = 10 centinaia 
0=cifra di ordine 2centinaia  1 centinaio =  10 decine
2= cifra di ordine 1  decine  1 decina = 10 unità
8=cifra di ordine 0  unità





ESEMPIO
2 Nel numero 5028

• La cifra 8, di ordine 0, è associata al valore 8 x 10^0 = 8 x 1= 8;
• La cifra 2, di ordine 1, è associata al valore 2 x 10^1 = 2 x 10= 20;
• La cifra 0, di ordine 2, è associata al valore 0 x 10^2 = 0 x 100= 0;
• La cifra 5, di ordine 3, è associata al valore 5 x 10^3 = 5 x 1000= 5000.

Perciò il numero 5028 si può scrivere in “forma polinomiale” in questo modo:
                                                 5028= 5 x 10^3 + 0 x 10^2 + 2 x 10^1 + 8 x 10^0
Infatti                                        5028= 5000+20+8
Questo sistema di numerazione si chiama decimale perché dieci unità di un ordine formano un’unità dell’ordine immediatamente superiore. Perciò la cifra di ordine zero indica il numero di unità, la cifra di ordine 1 indica il numero di decine, essendo una decina uguale a dieci unità, la cifra di ordine 2 indica le centinaia, essendo un centinaio uguale a 10 decine, e così via. In altre parole, il valore numerico associato a ogni cifra si ottiene moltiplicando tale cifra per una potenza di 10, il cui esponente è dato dall’ordine della cifra stessa.






Esempio
Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri del sistema decimale:

93     275     1204     12.756     1039

93= 9 x 10^1 + 3 x 10^0 = 90+3
275= 2 x 10^2 + 7 x 10^1 + 5 x 10^0 = 200+70+5
1204= 1 x 10^3 + 2 x 10^2 + 0 x 10^1 + 4 x 10^0 = 1000+200+4
12.756= 1 x 10^4 + 2 x 10^3 + 7 x 10^2 + 5 x 10^1 + 6 x 10^0 = 10000+2000+700+50+6
1039= 1 x 10^3 + 0 x 10^2 + 3 x 10^1 + 9 x 10^0 = 1000+30+9

Esempio
Scrivi i numeri del sistema decimale rappresentati dalle seguenti espressioni, senza svolgere calcoli.
a. 2 x 10^4 + 3 x 10^3 + 7 x 10^2 + 5 x 10 + 8= 20000+3000+700+50+8= 23758
b. 7 x 10^5 + 2 x 10^3 + 4 x 10^2 + 1= 700000+2000+400+1= 702401
c. 4 x 10^4 +1 x 10^2 + 5 x 10 + 6= 40000+100+50+6= 40156
d.  9 x 10^6 + 7 x 10^3 + 2 x 10^2 = 9.000.000+7000+200= 9.007.200

SISTEMI  NON  DECIMALI

Il sistema di numerazione decimale è stato universalmente adottato per la sua grande praticità. È ovvio però che il problema della numerazione potrebbe essere risolto anche usando come base un qualsiasi altro numero ≥ 2.
Si potrebbe creare ad esempio un sistema a base 3, nel quale

• Le cifre usate per scrivere tutti i numeri sono 0,1,2;
• Le unità si raggruppano a tre a tre;
• Tre unità di un certo ordine formano un’unità dell’ordine superiore.

Quindi anche in questo sistema ogni numero può essere espresso  in forma polinomiale, che nel caso specifico è 3.
Il numero 1201 scritto nel sistema ternario, equivale, nel sistema decimale a          
  (1·3^3 + 2·3^2 + 0·3^1 + 1·3^0) unità, cioè a (27+18+1) unità = 46 unità.
È chiaro che una base b< 10 offre il vantaggio di usare solo poche cifre, mentre l’adozione di una base b> 10 presenterebbe conseguenze perfettamente opposte a quelle dette sopra.
Nel passato altri sistemi di numerazione erano usati per la crittografia: scrittura nascosta.
Esempi
201base 3                        2· 3^2 = 18;      0 · 3^1 = 0 ;     1 · 3^0 =1                      18+0+1=19
5231base 6               5· 6^3 = 5· 216 =1080;     2· 6^2 =72;    3· 6^1 =18;     1· 6^0 =1     1080+72+18+1 = 1171

Sistemi di numerazione in base b

Consideriamo un sistema di numerazione in base 4: in esso, per la scrittura di qualsiasi numero, useremo solo le cifre 0,  1,  2, 3. In un numero di più cifre, ogni cifra , come in tutti i sistemi posizionali ,avrà un valore numerico che varia con la sua posizione, cioè con il suo ordine. Poiché, in , tale sistema ,le unità sono raggruppate a 4 a 4, alla cifra di ordine n è associato il valore numerico che, scritto nel sistema decimale , è il prodotto della cifra stessa per  .

Esempio

• Consideriamo il numero naturale che, in base 4, è scritto 132.
• Alla cifra 2, di ordine 0, è associato il valore numerico che, scritto nel sistema decimale , è :

                                        2 →  = = 2

• Alla cifra 3, di ordine 1, è associato il valore numerico   :

                                         3 →  = 12

• Alla cifra 1,  di ordine 2, è associato il valore numerico  :

                     

• → = 16                    Il numero 132 in base 4 corrisponde, nel sistema decimale, a 

 +  +  = 16 + 12 + 2 = 30

Adesso  consideriamo  un sistema  di numerazione in una generica base b  : in tale sistema, in un numero con più cifre il valore numerico di ogni cifra, espresso nel sistema decimale, dovrà esse moltiplicato per un’opportuna potenza di b il cui esponente , detto ordine o posizione di quella cifra, è uguale al numero delle cifre che seguono, verso destra, quella considerata. Possiamo quindi generalizzare le osservazioni del precedente esempio, relative al numero che nel sistema in base 4 era scritto 132. Pertanto, se x è un numero naturale espresso in base b e se
                               
Sono le cifre della sua rappresentazione in tale base, allora si ha
   
Cioè, essendo  = 1
                                           
Abbiamo scritto cosi il numero , in base b , nella forma polinomiale


 Esempi
2) Rappresentiamo in forma decimale il numero che in base 8  si scrive 7512.
Esprimiamo nel sistema decimale i valori numerici associati a ogni cifra:

• La cifra 2 è di ordine 0; il valore numerico a essa corrispondente nel sistema decimale è 

 = 

• La cifra 1 è di ordine 1; quindi a essa va associato il valore numerico 1  = 8
• La cifra 5 è di ordine 2; quindi a essa va associato il valore numerico 5  = 320
• Infine la cifra 7 è di ordine 3;  perciò a essa va associato il valore numerico 

            Dunque il numero che in base 8 si scrive 7512 corrisponde al numero che in base 10 è dato da
                                       
            Possiamo schematizzare questo procedimento nel modo seguente :

                     7                                   5                        1                            2  
 
           =    3584                     =  320                    =   8                        =    2              
 





 3584+320+8+2= 3914

• Rappresentiamo nel sistema decimale il numero che in base 5 si scrive 20413

20413 = 2

In base 5                         In base 10

I SISTEMI BINARIO ED ESADECIMALE

I sistemi di numerazione più usati sono due:

• Sistema di numerazione a base 2 o binario:

è un sistema importante usato per la rappresentazione dei  numeri interni ai computer.
Le cifre binarie sono due: 0 e 1.

• Sistema a base 16 o esadecimale:

In questo sistema le dieci cifre che si usano generalmente non sono più sufficienti. Si ricorre,quindi, ad alcune lettere dell’alfabeto.
Le cifre esadecimali  sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
A16=1010 B16=1110 C16=1210   D16=1310   E16=1410  F16=1510

N.B. Il sistema esadecimale può essere usato come abbreviazione del sistema binario.
Il termine Bit è l’abbreviazione di binary digit ed indica una cifra binaria.
Il termine Byte indica un gruppo di otto cifre binarie
Esempi
1102= 0x2^0+1x2^1+1x2^2=2+4=6
101102=0x2^0+1x2+1x2^2+0x2^3+1x2^4=2+4+16=22
CA416=4x16^0+10x16^1+12x16^2=4+160+3072=3236

CAMBIAMENTI DI BASE Dalla base 10 alla base b

Algoritmo delle divisioni successive

Per convertire in base b un numero x, rappresentato in base 10, si procede così:


A si divide x per b; il resto ottenuto costituisce l’ultima cifra a destra del numero x espresso in base b;


B si divide nuovamente per b il quoziente ottenuto; il nuovo resto è la cifra, in base b immediatamente a sinistra di quella ottenuta precedentemente;


C si ripete l’operazione B fino ad ottenere un quoziente nullo.

L’ ultimo resto è la prima cifra a sinistra del numero x scritto nella base b.

Il termine algoritmo deriva dal nome del matematico arabo; egli ci tramandò un importante libro di calcolo numerico e uno sulle equazioni di 1° e 2° grado: è per questo che la parola algoritmo rappresenta un  procedimento di calcolo.


ESEMPI
1 Esprimiamo il numero 2610  nel sistema binario. Applichiamo l’algoritmo delle divisioni successive:
26 : 2 = 13   resto 0
13 : 2 = 6     resto 1
6 : 2 = 3     resto 0
3 : 2 = 1   resto 1
1 : 2 = 0   resto 1
I resti ottenuti costituiscono diverse cifre del numero scritto in base 2: l’ultimo resto sarà la prima cifra a sinistra, il penultimo resto della seconda e così via, nell’ordine indicato nella freccia. Pertanto possiamo concludere che
2610 = 110102


2 Esprimiamo in base 8 il numero 432710.
Possiamo disporre il calcolo nel seguente modo:



4327     :       8
    7        
       =       540   :     8
4  
                    =          67    :      8  
                                                3     
                                                        =      8      :      8
                                               0
                                                                         =      1     :     8
                                                                                 1
                                                                                         =     0  
 
Ricordando che l’ultimo resto è la prima cifra a sinistra del numero richiesto, possiamo scrivere
4327base 10 = 10347base 8

Dalla base b1 alla base b2

E’ quasi sempre consigliabile operare in due tempi. Prima si effettua la conversione dalla base b1 alla base 10, poi si opera la conversione dalla base 10 alla base b2.


ESEMPIO
Esprimiamo in base 7 il numero 431125 =..............7
Determiniamo dapprima la rappresentazione decimale di 431125 :


43112base 5 = 4·5^4+3·5^3+1·5^2+1·5^1+2·5^0 = 2500+375+25+5+2 = 290710

Operiamo quindi la conversione di 290710 in base 7:
2907 : 7=  415    resto       2
415 : 7 = 59        resto       2     
59 : 7 = 8            resto       3
8 : 7 = 1              resto       1      
1 : 7 =  0             resto       1
Dunque                       43112base 5 = 2907base 10  = 11322base 7  → 43112base 5 = 11322base 7

Dal sistema binario al sistema esadecimale

Regola:
Per Convertire un numero in base 16, si raggruppano a quattro le cifre binarie del numero di partenza  partire da destra, se le cifre del gruppo più a sinistra sono 1, due o tre bisogna completare il gruppo anteponendo gli zeri a tali cifre, infine si sostituisce a ogni gruppo di 4 bit il numero esadecimale corrispondente.
ESEMPIO
Rappresentiamo nel sistema esadecimale, il numero  .
                                                  0110 1011 1110  
                               
                                                      6     B       E
Quindi si ha: = 6BEbase 16

Dal sistema esadecimale al sistema binario

Regola:
Per convertire in base 2 un numero x rappresentato in base 16, si sostituisce, a ogni cifra esadecimale di x, il corrispondente gruppo di quattro cifre binarie; si opprimono quindi gli eventuali zeri del primo gruppo a sinistra.
ESEMPIO
Rappresentiamo nel sistema binario, il numero .

                      2       F       A
                             
                   0010 1111 1010
Quindi sopprimendo i due zeri iniziali, si ha:   =